作者： Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas
出版商：世界图书出版公司和剑桥大学出版社, 2008
书评人：王 珺，复旦大学数学科学学院
1.作者介绍
本书的两位作者是国际上著名的应用数学学者，他们的研究领域涉及波理论、非线性方程求解、边值问题、渐进分析等方向。他们出版和发表了大量的学术著作和论文，而且都曾被ISI Web of Science评为数学领域引用最高的人之一。
Mark J. Ablowitz生于纽约，在罗彻斯特(Rochester)大学获得机械工程的本科学位，后在麻省理工学院取得数学博士学位，先后在麻省理工学院、克拉克森(Clarkson)大学和科罗拉多(Colorado)大学任教。1976年，他被克拉克森大学聘为教授，担任过数学与计算机系主任，及理学院院长。1989年起，他在科罗拉多大学工作至今，曾任应用数学系主任。他曾被授予约翰·西蒙·古根罕纪念基金(John Simon Guggenheim Memorial Foundation)奖金，并于2012年成为美国数学会成员。
Athanassios S. Fokas在帝国理工学院获得航空学本科学位，后在加州理工学院取得应用数学博士学位，并于1986年在迈阿密大学医学院取得医学博士学位。他曾先后在克拉克森大学、帝国理工学院和剑桥大学任教，33岁时就被克拉克森大学聘为教授和数学与计算机系主任。1996年，他去往帝国理工学院，随后于2002年在剑桥大学工作至今，并主持非线性数学科学。他是雅典科学院及欧洲科学院的院士，曾获得过伦敦数学会的内勒奖(the Naylor Prize)。
2.本书主要特点
复变函数的理论基础是在19世纪由柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼等人奠定的，它的建立和发展与解决实际问题的需要有联系。例如，柯西定理就是柯西在研究水波传播问题时设法计算一些积分而发现的。复变函数的研究不光从纯数学的角度而言是优美的，而且为大量实际问题的解决提供了强大的工具。“复变量导论及其应用”(第一版1997年，第二版2003年)是剑桥应用数学丛书之一，介绍了复变函数的基础理论和应用。全书分成两个部分，共有七章。
第一部分是传统复变函数的基础理论和技巧，包括：复数及初等函数；解析函数与积分；序列，级数和复变函数的奇点；留数计算和围道积分的应用。这些也都是国内本科教材的常见内容。但在这四章内容中，又介绍了一些应用中很重要但又在传统教材中不常见的问题，如：复常微分方程、潘勒韦(Painleve′)方程、傅里叶变换和拉普拉斯变换。
第二部分是复变函数理论的应用，第五章关注于共形映射的应用，第六章提供了积分渐进计算的主要方法，第七章包含了黎曼-希尔伯特问题的求解和应用。这三章内容相互之间没有关联，可以独立阅读，而且除了共形映射之外很难在本科生的复变量教材中见到。事实上，这些内容一般仅在研究生课程中才出现。所幸有了本书的第一部分作为基础，后三章是可以看懂的，读者不需要求助于其他文献。
读者通过学习本书可以得到各种计算方法的训练，掌握各种实用经典的求解偏微分方程、积分的渐进计算及解决黎曼-希尔伯特问题的技巧。对于有一定分析基础的读者，如果能够认认真真读完本书，做完书中的大部分习题，必定会对复变函数的理解，特别是如何应用，有一个很大的提升。此外，当工程和物理方向的读者在今后的工作学习中碰到与复变量有关的实际问题时，本书也是一本非常有用的参考书。
本书的主要特色是应用的思想和内容贯穿于全书之中。第一章就介绍了在常微分方程的初步应用，给出了简谐振动和梁振动的例子。第二章介绍完拉普拉斯方程之后，就引入了它的一个原型二维理想液体流。第三章介绍了潘勒韦微分方程，它的超越解对于非线性理论就如同经典特殊函数对于线性理论一样重要。第四章中介绍了如何用积分变换来求解线性偏微分方程。书中的第二部分更基本上是复变函数理论的应用。作者的观点是当学生把课程与实际应用联系起来，他们就会被激发兴趣并享受学习的过程。必要时，严格的定理证明被省略，让位于在合适条件下的逻辑推导，例如在第五章只叙述黎曼映射定理这一深刻结果而不论其证明。从而能将更多的例子和应用呈现给学生，这对接触这门课程的学生来说是非常有用的。但是本书并没有为此牺牲理论上的深度，重要的定理基本上都列出并给予证明，甚至有时作者并不满足于此，会将更现代的想法提供给读者，例如在
本书的另一特色是图例丰富多样，习题设置颇为合理。丰富的插图有助于初学者比较直观地理解多值函数分支和黎曼面投影等概念，并利于读者了解积分计算时围道的选取。每个章节的例子都是非常经典具有代表性的，方便读者正确理解概念并熟悉应用方法的原理和步骤。一定数量的富有启迪的习题是一本好教材所不可或缺的。书中的习题经过精心挑选，基本上都是具体的问题，证明题较少，而且很多题目又分为若干小问并配有提示，有助于读者提高逻辑思维能力，更好实践掌握书中所介绍的方法和原理。此外，附录A给出了奇数题号练习题的答案，方便读者检查答题的正确性。
本书与国内的本科生复变函数教材是有些区别的。国内数学专业的教材是让读者在学习复变函数经典理论的同时受到严格的数学训练，故而大多内容精练，讲求定理的证明，图例不多，较少应用介绍。而且国内教材中经常出现的调和函数部分并没有在本书中得到介绍。国内应用数学专业的教材可能更多关注于积分变换在工程技术中的应用，基本上不涉及本书中第六章和第七章内容。书中带星号的章节可以省略或单独阅读，需要授课教师按照课程的时间及目标要求进行取舍组合。第六章和第七章更适合作为高年级数学专业本科生的选修内容，也可以作为研究生开始阶段的课程内容。
当然本书也有些不足之处，有时书中给出的定义不太严格，例如第79页的单连通定义。另一方面，对于应用而言，介绍局部一致收敛比书中仅介绍一致收敛更有用。但不可否认的是，这本书对于工程和物理方向的学生是非常有价值的，尽早接触实际应用中经常碰到的问题有助于他们今后更自然地进入相关研究。同时本书在世界范围的很多学校得以广泛使用，也说明大家对它的认可。
3.本书的章节目录
序言
第一部分 复变函数理论的基础和技巧
第一章 复数和初等函数
1.1 复数及其性质
1.2 初等函数和球极平面投影
1.2.1 初等函数
1.2.2 球极平面投影
1.3 极限，连续和复微分
1.4 在常微分方程的初步应用
第二章 解析函数和积分
2.1 解析函数
2.2 多值函数
*2.3 复杂多值函数和黎曼面
2.4 复积分
2.5 柯西定理
2.6 柯西积分公式,它的推广及其影响
*
*导数
*2.7 理论上的发展
第三章 序列、级数及复变函数的奇点
3.1 复序列,级数的定义及基本性质
3.2 泰勒级数
3.3 洛朗级数
*3.4 序列与级数的理论结果
3.5 复变函数的奇点
*3.6 无穷乘积和Mittag-Leffler展开
*3.7 复平面上的微分方程: 潘勒韦方程
*3.8 计算原理
*
*
第四章 留数计算和围道积分的应用
4.1 柯西留数定理
4.2 特定积分的计算
4.3 主值积分和有分支点的积分
4.4 幅角定理, 儒歇(Rouche′)定理
*4.5 傅里叶和拉普拉斯变换
*4.6 变换在微分方程的应用
第二部分 复变函数理论的应用
第五章 共形映射及其应用
5.1 引言
5.2 共形变换
5.3 临界点和逆映射
5.4 物理上的应用
*5.5 理论上的考虑-映射定理
5.6 施瓦茨-克里斯托费尔(Schwarz-Christoffel)公式
5.7 双线性变换
*5.8 涉及圆弧的映射
5.9 其他考虑
*
第六章 积分的渐进计算
6.1 引言
6.2 拉普拉斯型积分
6.3 傅里叶型积分
6.4 最速下降法
6.5 应用
6.6 Stokes 现象
*
6.7 相关技巧
*
*
第七章 黎曼-希尔伯特问题
7.1 引言
7.2 柯西型积分
7.3 纯量黎曼-希尔伯特问题
7.4 纯量黎曼-希尔伯特问题的应用
*7.5 矩阵黎曼-希尔伯特问题
7.6 DBAR问题
7.7 矩阵黎曼-希尔伯特问题和问题的应用
附录A 奇数题号的题目答案
参考文献
索引
4.书评作者简介
王珺，复旦大学数学科学学院副教授。长期从事复分析的研究，曾主持过上海市和国家自然科学基金项目，发表论文20余篇。