作者：Howard Anton & Chris Rorres
出版社：John Wiley & Sons Inc.，2000
书评人：吕志，复旦大学数学科学学院
1. 出版及作者情况
由Howard Anton和Chris Rorres合撰的线性代数教材《Elementary Linear Algebra: Applications Version》第一版于1973年是由John Wiley & Sons Inc.出版公司出版，目前已出版更新至第十版，最后一版于2010年出版，各个版本均在八百页左右，涵盖了线性代数的全部主要内容。
两位作者Howard Anton和Chris Rorres都曾在德雷克塞尔（Drexel）大学工作，现均已退休。
Howard Anton在Lehigh大学取得学士学位，在Illinois大学获得硕士学位，在布鲁克林理工学院获得哲学博士学位，所学专业均是数学。自1968年开始，Howard Anton在德雷克塞尔（Drexel）大学从事数学教育和研究工作。1983年后，他从德雷克塞尔大学退休全时进行教材的写作。Howard Anton由于他编写的教材在世界上被广泛使用而闻名，他在分析学、逼近论、拓扑学及教育学方面还深有造诣，发表了大量论文。Howard Anton分别于1994年和2011年获得了美国教科书作者联盟的优秀教材奖以及McGuffey奖，他还是美国数学联盟的EPADEL分支机构的主席。Howard Anton喜好旅游和摄影。除了本教材外，Howard Anton还与Stephen L. Davis， Irl C. Bivens合作编写了《微积分》教材（该教材同样是一本著名的教材），以及与Robert Busby合作编写了《当代线性代数》（Contemporary Linear Algebra）一书。
Chris Rorres从德雷克塞尔大学获得了学士学位，从纽约大学Courant所获得了哲学博士学位。而后，Chris Rorres在德雷克塞尔大学工作了三十多年，从事数学教育和研究。他的研究工作主要在应用工程方面，涉及太阳能工程、声散射、人口动力学、计算机系统可靠性、考古遗址的几何学、决策论等。Chris Rorres于2001年从德雷克塞尔大学退休。他还是宾夕法尼亚州立大学兽医学院的兼职教授。
2.本教材的特点
按法国Bourbaki学派的观点，数学包含三大基本结构：代数结构、拓扑结构和序结构。而线性代数包含线性结构，属于代数结构中重要的基本结构。故此，线性代数在数学中的重要性不言而喻。在另一方面，传统意义上，数学、物理和化学是并列的学科，但现代数学已渗透到不仅仅自然科学领域而且还包括管理、人文等领域当中，因而在当今世界人们已将数学独立于其他学科而成为一门基础科学，称其为数学科学。因此，作为一个非常基本的课程，线性代数已成为现代大学中各个学科需要掌握的基本课程。
线性代数是一门发展非常成熟的课程，其基本内容已没有多少发展创新空间，故教材的编撰更多的是如何在内容组织安排、思想表达方式、深浅程度、习题选取以及应用问题的选取上下功夫。
这里所要介绍的是由Howard Anton和Chris Rorres合撰的线性代数教材《Elementary Linear Algebra: Applications Version》（这里我们以该教材第八版为参考样本）。该教材已成为国际上经典的线性代数教材，已被翻译成西班牙文、意大利文、德文、法文、日文、中文、阿拉伯文等十几种不同语言的教材。该教材的特点体现在如下几个方面：
2.1内容安排和实例的选取得当、适用性强
本教材的内容涵盖了线性代数所有基本的内容，在第九章还增加了在数学上的一些应用（如，在微分方程中的应用，逼近问题等）。编排上不直接给出定义，而是通过大量的例子将概念提取出来，并且定理也是经由例子的分析总结而成，知识内容由浅入深分层次推进，呈现出“浅入深出”特点。而再通过大量的应用问题（包括工程学、遗传学、人口学、管理、数学、混沌、分形、人文科学等21个方面的应用实例）的选取，将线性代数的基本思想概念和理论渗透其中进行分析、解释和论述，使得抽象的概念和理论通过具体实例呈现出来。这不仅有助于理解把握基本概念和理论，而且还可学会应用技巧以及展现出线性代数在现代科学技术中的独特风貌。从这点上看，本教材还非常适用于自学。此外，本教材“浅入深出”特点以及包含了现代科学、工科及人文科学的各个方面的大量丰富实例，可根据不同专业的侧重点选取，故本教材适用性广泛。
2.2论述清晰、可读性强
本教材作者们始终贯彻一个基本的思路：以例子为先导引出概念和定理，以具体简单的情形为先导引出一般的情形（如，对于线性空间，先在第三章处理2维，3维的情形，而后在第四章处理n维欧几里德空间，最后，在第五章才处理一般意义下的线性空间），先处理矩阵理论，后处理线性映射。作者们用浅显的语言和例子讲述各种新的概念，语言也非常精炼，行文流畅，即便是中学生也易于理解。此外，作者们还从工程学、遗传学、人口学、数学、人文科学等21个方面给出了线性代数具体的应用实例，很多实例是我们生活中可遇到和有趣的问题，每个实例还配备了生动形象的彩色图案，大大增加了线性代数的有趣和实用之处。其结果是该教材具有很强的可读性，使之成为广受欢迎的一本教材。
2.3图例及图表丰富多样、排版清晰
本教材包含大量的彩色插图，有助于初学者直观的理解线性代数中许多抽象的概念和理论（例如，线性映射以及最小二乘法的本质直观意义等）。借助于图表、彩色和加重底部黑白的明暗程度排版使关键及重点之处一目了然，并且明暗程度的不同表示不同程度的重要性，有益于将书从厚读薄，抓住本质的思想和知识点。
2.4习题安排合理且层次分明
本教材的习题配置很合理，各个章节针对内容均有充足的习题。其中，各个小节的习题相对简单，有基本的计算题，一定量的证明题。特别地，每节习题的最后部分所安排的“讨论和发现”（Discussion and Discovery）是本书的独到之处，这部分的问题形式多样，如以提问的形式、判断的形式、由已知的公式或结论去探索某种条件下未知的结论，举反例等等。这样，学生既可以通过前面部分的计算和证明把握每节的关键技术方法以及基本的理论，又可通过最后部分的“讨论和发现”提高和升华所学的基本知识。每章还配置了大量的习题，包括综合性方面的习题，有一定难度的证明题以及关键技术方法方面的习题。21个方面应用实例后面的习题也是结合问题的需要来配置习题，许多习题还联系到近期的研究成果进行设计。总体而言，作者们在习题的编排上下足了功夫，使得习题作用不仅仅是帮助理解和掌握所学的知识内容，而是和内容的有机结合，扩充知识面和扩展更大的发展空间。
2.5应用方面
正如前面所述，本教材包括工程学、遗传学、人口学、数学、混沌、分形、人文科学等21个方面的应用实例。作者们不仅仅简单的列举出线性代数在其中的应用，还用了详尽的语言阐述线性代数对所述21个方面发展的影响，特别地，21个方面中某些方面还是现代科学前沿的发展方向（如，混沌、分形等）。这是本教材最大的特色。通过本教材，不仅让学生学会线性代数的理论和技术，而且还看到和切实感受到了数学在当今世界中如何发挥作用，充分体现出数学在当代科学领域、工程技术领域、人文科学领域等方面的重要地位。
3.与我国线性代数方面教材的比较
总体而言，目前我国工科线性代数方面教材在内容的选取上与国外已没有太大的差别，许多教材甚至比国外同类教材难度上更大，技巧性强。在内容的编排方面，国内有些教材从数学的逻辑及思想方面已能做到很合理，和国外的教材没有差别。更多的不同体现在如下几个方面：
3.1 编写风格
我国线性代数方面教材普遍写的比较简练且内容上很少重复，一般页数在二百至三百页之间，而美国的同类教材页数比国内的要多出一倍甚至二倍，注重同一内容从不同方式讲解而不是简单的重复。美国的教材注重细节（如将重点和关键点利用彩色及明暗程度进行强调），通俗性，数学语言表述的科学性，图文并茂做到直观和形象，特别有利于自学。美国的教材注重内容和习题的有机结合，习题的作用不仅仅是对所学知识和技巧的训练。而国内教材习题的难度普遍高于美国的同类教材，并且习题选取基本是计算题和证明题，更多的是为了训练对知识和技巧的熟悉程度。
3.2 适用性
美国的线性代数教材（尤其是Howard Anton和Chris Rorres编写的教材）将线性代数很好的融入到现代科学、工程技术以及人文科学的各个领域中，充分体现出在当今世界线性代数的重要性和作用，能使学生感受到学习线性代数是现代人需要掌握的必不可少的知识和文化。国内的同类教材虽然也强调了应用，但更多的是列举出简单的实例，缺少在现代科学技术以及人文科学等大的背景下强调线性代数在其中的影响和作用，加上教材普遍缺乏直观形象，语言过于逻辑化以及大量的有相当难度的计算题和证明题，对激发学生的学习热情非常不利。Howard Anton和Chris Rorres编写的教材有很强的适用性，不同专业均可选取该教材作为教科书。而国内根据不同的专业编写出许多不同的版本，适用性受到很大的限制。
3.3可读性和趣味性
Howard Anton和Chris Rorres编写的教材更像一本小说，语言朴实，简单易懂，内容深刻。读起来仿佛就像整本书的主要人物—线性代数在当今社会的不同方面（工程学、遗传学、人口学、数学、混沌、分形、人文科学等21个方面）辛辛苦苦的做着出色的工作而缺少他又不行。而大量漂亮的彩色插图以及不同时期各种有着重要贡献的科学家介绍，又仿佛坐在美丽的田园中读着历史小说。而这部小说花费了Howard Anton和Chris Rorres近毕生的心血来铸造的。在这点上，不得不说国内的同类教材难以与其比拟。
4.本书的章节和目录
第一章 线性方程组和矩阵
1.1 线性方程组介绍
1.2 高斯消元法
1.3 矩阵及其运算
1.4 矩阵的逆和矩阵的运算法则
1.5 初等矩阵和求解逆矩阵的方法
1.6 方程组及可逆性的进一步结果
1.7 对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵
第二章 行列式
2.1 行列式函数
2.2 利用初等变换求解行列式
2.3 行列式函数的性质
2.4 代数余子式展开；Gramer法则
第三章 2维和3维空间中的向量
3.1 向量（几何向量）介绍
3.2 向量的模长；向量运算
3.3 点乘；投影
3.4 叉乘
3.5 3维空间中的线和面
第四章 欧几里德向量空间
4.1 欧几里德n-空间
4.2 从Rn到Rm的线性变换
4.3 从Rn到Rm的线性变换的性质
第五章 一般向量空间
5.1 实向量空间
5.2 子空间
5.3 线性独立性
5.4 基和维数
5.5 行空间、列空间和零空间
5.6 秩和零维数
第六章 内积空间
6.1 内积空间
6.2 内积空间中角和正交性
6.3 正交基；Gram-Schmidt过程；QR-分解
6.4 最优逼近；最小二乘法
6.5 正交矩阵；基变换
第七章 特征值与特征向量
7.1 特征值和特征向量
7.2 对角化
7.3 正交对角化
第八章 线性变换
8.1 一般线性变换
8.2 核和像（或值域）
8.3 可逆线性变换
8.4 一般线性变换的矩阵
8.5 相似性
第九章 额外主题
9.1 在微分方程中的应用
9.2 在R2上线性变换的几何
9.3 最小二乘法
9.4 逼近问题；傅立叶级数
9.5 二次型
9.6 对角化的二次型；圆锥曲线
9.7 二次曲面
9.8 线性方程组解法的比较
第十章 复向量空间
10.1 复数
10.2 复数的除法
10.3 复数的极坐标形式
10.4 复向量空间
10.5 复内积空间
10.6 酉矩阵、正规矩阵、Hermitian矩阵
第十一章 线性代数的应用
11.1 由特殊点构造曲线和曲面
11.2 电子网络
11.3 几何线性规划
11.4 指派问题
11.5 三次样条插值法
11.6 Markov链
11.7 图论
11.8 博弈论
11.9 列昂季耶夫（Leontief）经济模型
11.10 森林管理
11.11 计算机图形学
11.12 平衡温度分布
11.13 计算机断层扫描
11.14 分形
11.15 混沌
11.16 密码学
11.17 遗传学
11.18 分年龄人口增长
11.19 动物种群的捕猎
11.20 人类听觉的最小二乘法模型
11.21 扭曲与变形
习题解答
致谢
索引
5.书评作者简介
吕志，现为复旦大学数学科学学院教授，博士生导师。曾毕业于日本东京大学，获得博士学位。主要从事微分拓扑、代数拓扑以及变换群理论的研究。曾主持过国家自然科学面上基金、博士点基金、上海市自然科学基金等多项科研项目，已在《Math. Ann》、《Trans. AMS》、《Math. Z》、《J. Algebraic Combin.》、《Math. Rese. Letters》等杂志上发表学术论文30余篇。