我国经管类线性代数教材之比较

复旦大学数学科学学院 谭强波

        我国现行经管类线性教材比高等数学教材少很多，其选材和论述在一般线性代数教材的基础上有所简化，删除了一些繁琐的证明和论述，在某种意义上可以看作是数学等专业的线性代数的简化版，而其特色体现在教材通过一些实际的例题和习题，更强调定理公式在经济学中的应用。本文作者考察了高等教育出版社的五本经管类线性代数教材，包括两本“十一五”规划教材，一本“十五”规划教材和另外两本经管类数学基础教材，在比较其理论体系、内容编排、实际应用和习题等方面做了一些尝试性探讨。

        1. 注意用实际例子引入概念

        线性代数的一些概念和方法比高中代数学知识要抽象和复杂，因此，通过实际例子引入一些基本概念和方法可以和生活中的实际相联系，有利于承接高中知识，更适合经管类学生学习。在实际例子的运用上，各教材也有很大差异，现比较如下。

        文献【1】【2】【3】均以具体实例开篇，侧重稍微不同。文献【1】开篇介绍线性方程组理论子，通过经济管理中的一个简单例子引入线性方程组的基本概念，引例如下：

        引例（物资调运问题） 有三个生产同一产品的工厂，其年产量分别为40t，20t和10t，该产品每年有两个用户，其用量分别为45t和25t，由各产地到各用户的距离为（km），如表1-1所示（），不妨假设货物每千米的运费为1（元），问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？

        表1-1

        教材通过这一例子很顺利的引入线性方程组的概念和消元法，为后面的矩阵及其初等变换做铺垫，然后以矩阵为主线，逐渐引入行列式的定义和计算、矩阵的运算、线性方程组理论、特征值和特征向量、二次型，最后一章介绍线性代数的应用问题，回归最开始的引例，使学生可以学以致用，是本书的特色之一。书中定理证明简洁明了，去除了繁琐的证明和论述，并且计算和应用的例子很详细，适合作为经管类教材。

        文献【2】通过例子引入矩阵的概念，其例子如下：

        例1 假设我们记录4名学生甲、乙、丙、丁的三门课成绩（数学、语文、英语）的期末考试成绩。若按满分100评定，期末考试成绩由表1.1所示。

        更简单地，可将这个表记为下面的形式

        这样一个矩阵数表就称为一个4行3列或的矩阵。

        文献【3】通过实例引入矩阵的概念，其第二个例子涉及到经济学中会出现的的博弈理论，更有意思一些。

        例1.2 博弈论（Game Theory）是研究竞争、冲突问题的数学理论。目前，博弈论已成为现代经济学研究的重要理论工具。下面的问题是一个简化的博弈模型：两个飞机制造公司A和B为争夺大型飞机市场展开了激烈的竞争。假设在一段时间内，两家公司都开发生成某一类型飞机，由于市场容量有限，则都将亏损25亿元；如果只有一家公司开放这一类型飞机，则该公司可获利润200亿美元。每一公司可选择的策略（行动方案）均为“开发生产”或“不开发生产”。两个公司选择策略后的利润如表1.2

        由此可用矩形数表表示公司A和公司B在不同策略选择下的赢得：

 和 

        这是两个2行2列矩阵，称为公司A，B的赢得矩阵（支付矩阵）。

        比较而言，【4】【5】的表现就显得苍白无力枯燥无味了些。例如【4】中第一节的第一段介绍二元线性方程组与二阶行列式如下：

        用消元法解二元线性方程组

                     （1）

        为消去未知数，以与分别乘上列两方程的两端；然后两个方程相减，得

        类似地，消去，得

        当时，求得方程组（1）的解为

        后面接着定义二阶行列式的定义和计算法则，接着直接定义三阶行列式，然后是n阶行列式及其性质，计算的例子。在简单介绍过克莱默法则后配上一定数量的纯行列式习题，第一章宣告结束。

        【5】以矩阵的定义开篇，后面虽然有两个小例子说明了这一定义，以及矩阵的运算中有一个小实例，全章所有的结构基本就是首先直接给出定义，陈述性质，介绍计算方法，看不到任何存在和发现这一切的原因，完全没有体现数学素质教育的精髓，只是让学生机械的掌握这一套理论和熟练的计算。这样一种背书式的数学教育对大一的新生来说不会是一件好事。不过其最后一章简单介绍了若干经济模型，包括投入产出数学模型、线性规划数学模型、层次分析数学模型，算是理论联系实际的例子，稍稍看到经管类数学的影子。

        2. 教材体系各部分的自然衔接

        一本成功的教材应该有几条清晰的主线，做到教材的每一章之间，每一章的每一节之间，以及每一节的每个部分之间的自然衔接，使得整个教材成为一个完整的理论体系。国内有一些优秀教材在这一点上做得很好，有一些教材却不尽如人意。

        教材【1】的前四章以线性方程组为主线，第五、六章以实二次型化成标准型为主线，第七章综合介绍了线性代数的一些应用。全书突出“矩阵方法”，从始至终贯穿矩阵的初等变换的作用，各章之间以及各部分之间的衔接也很自然顺畅。每一章第一节前面的引言部分写得很好，介绍与前面部分之间的联系和本章的主要内容。

        比如第一章引言提到：“许多自然现象和经济现象，变量之间的依赖关系，本质上是非线性的，但如果忽略活干次要因素，线性依赖的法则不同程度上会较好地符合实际情况，于是线性方程和线性方程组就可以在一定程度上作为描述一些客观事物的数学模型。”这一段话介绍了前四章研究对象的现实意义。

        又如第三章提到：“在第一章有关线性方程组的初步讨论中，引入了矩阵的概念及矩阵的初等变换的运算。我们已经看到，线性方程组的一些性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。出线性方程组外，还有大量的各种各样问题也都提出矩阵的概念，且这些问题的研究常常表现为对矩阵的某些方面的研究。”这一段话联系到前面的知识，而且后面的讲解也由浅入深，使一三两章之间衔接自然。

        这样的安排和导言在书中的每节前面也有，体现了各节之间，节与章之间的部分和整体的关系和逻辑上的承前启后。其最后一章用四节的篇幅介绍应用问题，包括二次曲面方程标准化、递归关系式的矩阵解法、投入产出数学模型和基于二次型理论的最优化问题，这些问题分别涉及到二次型、矩阵的特征值和特征向量、线性方程组理论等，可以对前面的知识有一些系统的把握。

        教材【2】的全书按先后次序分为四章：矩阵、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型。在行文风格上与【1】有相似之处，其每一章也有引言部分介绍该章的主要内容，各章在知识承接上有一定的承前启后关系，不过各章之间的衔接稍有欠缺，抛开准备知识，各章介绍基本独立，未能如【1】一样提到该知识点在教材的什么地方出现，前后有什么关系等，因此系统性和主线分明方面做得不够。书中包含难点知识较多，对一般大一的经管类学生而言，接受起来可能会稍微吃力些。

        教材【3】主要以矩阵理论为主线，通过简洁的手法用五章介绍了矩阵、行列式、线性方程组与向量、矩阵的特征值和特征向量、二次型的相关知识，略去了一些非重点内容的定理证明，而以例题进行说明，而重要定理和法则也都有严格证明。本书虽然短小，然其各章各节之间的衔接自然，前后承接顺畅，联系紧密，构成一个严格的逻辑整体，这一点是很可取的。

        教材【4】理论体系和我国现行理工类线性代数教材的体系基本一致，介绍各章分别为行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型，最后打星号的一章介绍线性空间与线性变换。教材在知识的承接上有先后次序，不过各章各节之间缺少衔接，每一章（第四章除外）以一句话介绍本章主要内容，

        教材【5】的安排和【4】类似，全书共6章，分别介绍矩阵、线性方程组、向量空间、特征值和特征向量、二次型，最后一章介绍了若干经济数学模型。该教材可看作是理工科教材的删减版，作为经管类教材意义不大。

        3. 例题和习题配置

        例题和习题是教材的重要组成部分，例题可以加深对教材内容的理解，帮助学生直观快捷的掌握主要知识点和技能。习题一方面作为教材内容的巩固训练，另一方面作为教材内容的补充。因此例题要以经典例题为主，着重知识重现和创新，习题的编制要紧密联系教材内容，要能充分体现教材内容，同时适当加入一些新的知识作为补充，题目在于精而不在多。

        教材【1】的每一节的相关知识点都有相应的例题，特别是需要掌握技巧的时候，如初等变换等。每一节有3至8道训练题，每章后面有一套总习题。训练题以基础知识为主，起到巩固提高的作用。

        如介绍矩阵的秩后面的习题3-6，有8道题都和秩有关，第6题：设， 都是 矩阵，证明与等价的充分必要条件是。这样一些知识点在教学内容中没有出现，但是以习题的形式出现做补充，既可以作为练习，本身又是一个知识点。

        在应用方面，该教材也有安排了一些相关习题，如第二章《行列式 克拉默法则》习题2-5中习题3：某公司人员有主管与职员两类，其月薪分别为5000元与2500元，以前公司每月工资支出6万元，现在经营状况不佳，为将月工资支出减少到3.8万元，公司决定将主管月薪降至4000元，并裁减2/5职员，问公司原有主管与职员各多少人？

        总体来说，本书的习题和教学内容联系较为紧密，复习题综合性比较强，不足之处在于其经典例题的编入有些不够，习题数量也较少。

        教材【2】的例题和习题配置非常详细，每一知识点至少有一个相对应的经典习题，习题的质量和数量都挺高。书中每一节后面配有习题，难度较低，适合学完知识的巩固；每一章后有综合练习题一套，难度稍高，适合教学内容的提高和补充。书中涉及到的例题和习题内容丰富，可以满足教学和自我训练的需要。

        教材【3】【5】的习题置于一章之后，分A、B两部分，感觉不太适合及时巩固；教材【4】的习题也是在一章之后，而且感觉例题有些堆积在一起，承接关系不是太好。

        4. 小结

        每一本好的教材都融入了作者和广大师生的许多心血，如果教材的编写能够自然合理的安排理论体系的各个部分，并结合实际，通过生动有趣的例子引入抽象的概念和方法，同时结合经典的例题和习题加深对知识的理解掌握，并在课后通过思考题或者讨论性习题，给学生留下思考和自学的空间，对这样一门数学基础课的教学将是很有帮助的。

        【参考文献】

        【1】吴传生. 经济数学-线性代数（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009. 

        【2】卢刚. 线性代数（第三版）[M].  北京：高等教育出版社，2009.

        【3】胡显佑. 线性代数[M]. 北京：高等教育出版社，2009.

        【4】同济大学数学系. 线性代数（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007(2010重印). 

        【5】黄惠青，梁治安. 线性代数 [M]. 北京：高等教育出版社，2006（2009重印）.

        书评作者简介

        谭强波，复旦大学数学科学学院博士生。