LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS，3ED EDITION
作者：Gilbert Strang
出版社：Thomson Learning，Brooks/Cole，1988
书评人：杨劲根，复旦大学数学学院
1. 出版与作者情况
Gilbert Strang 写作的理工类线性代数教材 ``Linear Algebra and ItsApplications '' 由 Thomson Learning 出版公司 Brooks/Cole分公司出版，目前我们查到的最新版本是1988年的第三版。全书五百页左右。
作者 Gilbert Strang在麻省理工学院完成本科学业，后获罗德奖学金赴牛津大学巴利欧学院攻读硕士，在加州大学洛杉矶分校获数学博士学位。曾获得麻省理工学院 Alfred P.Sloan Fellow、加州理工学院Fairchild Scholar等荣誉。现为麻省理工学院数学教授、美国科学院院士、牛津大学巴利欧学院（Balliol College）荣誉院士。在1999-2000 年间，Gilbert Strang 担任SIAM的主席，在2003-2004 年间任美国国家数学委员会主席。2005年获美国应用力学协会颁发的纽曼奖。
Gilbert Strang 是国际上应用数学的大师，学术上有很高的造诣。他是中国改革开放后最早访华的数学家之一，曾任西安交大等校的名誉教授，与中国学者有合作研究。Strang 教授为人热情开放，富有幽默感。
除了杰出的科研成就外，Gilbert Strang还写了包括本书内的多册大学教材。他的线性代数视频课程是麻省理工学院推出的共享视频课程最早的一部。
2. 美国的线性代数教学和教材的背景
近五十年来，线性代数也成了大学低年级的热门课程。和微积分一样，美国的线性代数也分两步走，先学线性代数第一教程，再学它的后续课程。第一教程是面向各专业的学生的，很多大学数学系的学生也学第一教程。
1990年十多个美国大学教授在美国国家自然科学基金会资助下开了五天会专门讨论线性代数第一教程的改革，会后向数学教育界提出五条建议（见参考文献【1】）。一些要点概述如下：作为公共基础课程的线性代数的大纲应优先考虑授课对象的需求。需要学线性代数的学科主要有：计算机科学、电子工程、航天工程、系统工程、物理学、经济学、统计学、运筹学等。同时也得考虑少数修此课的数学专业学生的需求。由于相当数量的一部分学生不再修它的后续课程，本课程必须有一定的完整性。线性代数的应用的讲解是必要的，但要简明，使不同专业的学生都能听懂。课程的深度按学生的数学基础来定。建议此课程以矩阵为主，而不是以抽象的线性空间和线性变换为主，这有利于培养学生的线性代数计算和应用能力，这和培养数学系的学生并无冲突。课程的核心内容如下：
1）
矩阵的加法和乘法，转置，各种运算的性质，分块矩阵的运算法则。特别要详细讲解矩阵乘法AB 的如下解释：
i) Ax 是A 的列的一个线性组合，AB 中每一列是A的列的线性组合。如果D 是对角阵，则AD中的每一列是原来列的放大或缩小。如果P 是一个置换矩阵，则AP的列是A 的列的一个置换。
ii) AB 的每一行是B 的行的线性组合，...
2）
线性方程组，包括高斯消去法、初等矩阵、阶梯形矩阵、解答存在性和唯一性、逆矩阵、LU-分解。
3）行列式，余子式，按行或列展开，|AB|=|A||B|,Cramer 法则 。从二阶和三阶引入行列式的计算和性质，尽量避免 冗长的证明。
4）n 维实空间Rn.线性组合、线性相关、线性无关、基、子空间、生成元、子空间的基、矩阵的行空间、列空间、零空间、矩阵所定义的线性变换、矩阵的秩=行秩=列秩、重新解释线性方程组、秩+零空间维数=列数、内积、向量的长度、正交性、标准正交基、正交阵。不必证明所有定理。
5）特征值、特征向量、特征子空间、方阵的对角化、对称阵和它的正交对角化、二次型。
6）正交投影、Gram-Schmidt正交化，QR-分解，最小二乘法。
以上内容总共26-28 个教学日，余下时间可以讲授选学内容。这里的教学日只有50分钟的课堂时间，比我国的课时少。
参加讨论会的代表强烈推荐数学系必须设立相应的后续课程，例如抽象线性代数、矩阵分析、数值线性代数，使数学系学生有一个学年的线性代数训练。
美国大学的公共线性代数课程大致上都按上面的精神设计的，这也可以在他们使用的教材中反映出来。对此有所了解有助于我们对外国教材的选用。
目前我国大学的数学教学数学专业和非数学专业的界线过于明显。笔者认为数学分析和线性代数这两门数学系的主课可以借鉴美国的方式，每一门都分两个阶段，第一阶段学一个学期的公共课程，第二阶段学有严格证明的后续课程，不失为一种合理的安排。
3. 本教材的特色
本教材是特点鲜明甚至带有个人色彩的教材。和传统的教材写法不同，把定理的证明也用叙事的方式完成，充分表现作者的教学理念。全书的涉及面极广，工程和经济学的应用实例很多。本书对学生的智商有一定要求，所以选用此书作为线性代数教材需要慎重。
查看亚马逊网站的书评，对 Strang教材的评价分布比较奇怪。每篇评论对所评书籍打从一颗星到五颗星的分，五星最好。本书的评论五星和一星的据多，中间的很少。这说明读者对本书爱憎分明。从贬低本书的评论文字看，这些人多半是基础知识不够或者不能适应这种风格的教科书，比如有些教师认为这本书很难教，因为这是一种新的方式讲授线性代数，与他们学线性代数时用的教材差别很大。
下面就本书的一些特点加以详细评述。
3.1 启发式教学
作者写作本教材的初衷是对原来线性代数的教法不满意，从定义到定理的死板的推导已经到了令作者不能容忍的程度。作者认为线性代数不是抽象的数学，它是具体、生动、有用并且容易懂的数学。所以他放弃抽象的推导，而是向读者用大白话解释线性代数的概念和方法。从例子出发，引导读者一步一步走向深处。例如在行列式一章，作者并不写出行列式的定义，而从二阶行列式出发，根据行列式需要满足的基本性质使读者自已发现行列式只能这样来定义。
读他的书就觉得在听他讲课，甚至像听故事一样。然而他讲述的是严格而有一定深度的数学。作者在化难为易方面也是下了很大功夫的。
3.2 应用范围广
本书的书名就注定本书包含很多应用方面的内容，特别后半部分主要围绕三个专题：有限元法（这是作者的强项）、数值线性代数、线性规划和最优化。
3.3 内容编排
传统的线性代数教材在较早阶段讲线性变换和它的性质，而把欧氏空间和正交变换放在后面。本书并没有专门的线性变换的章节，在较早阶段就讲解向量的正交性、空间的正交基和正交变换等一些知识，甚至涉及希尔伯特空间和富里叶级数。而把更一般的线性变换，特别是相似变换，放在后面讲。这符合从特殊到一般的原则。在线性代数的教学实践中，线性变换一章是一个难点，而正交概念是学生比较容易接受的，这符合从易到难的原则，也更有利于学生培养几何直观。这样编排的另一个显着的好处是让学生先学到一些最有用的线性代数工具，如最小二乘法、快速富里叶变换等。
3.4 离散和连续的关系
本书的另一个显著的特点是充分强调连续数学和离散数学的联系，线性代数本质上是离散的数学，而应用数学中的计算把连续的数学问题，主要是与微分方程有关的问题，转化成离散的数学问题。作者从头开始就不失时机地解释如何把连续问题离散化。例如，作者清晰地解释带形矩阵（即非零元素集中在主对角线附近的方阵）的来龙去脉，使读者知道这种特殊矩阵是从实际问题中产生。这是纯粹线性代数教材未能做到的。
3.5 配套视频教程
麻省理工学院发布的网上第一套视频教程就是由 Strang教授本人讲授的线性代数，内容比教材的少一些，基本上和真正的课堂教学差不多。该教程深受学生喜欢。互联网连接如下：http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/index.htm
3.6 后续课程
Gilbert Strang 的另一本有名的教材是“应用数学导引”（Introduction to Applied Mathematics），是线性代数的后续课程，衔接紧密而自然。内容包括富里叶分析、复变函数、偏微分方程、数值方法和最优化。
4. 和我国线性代数教材的比较和启示
我国的线性代数教材比高等数学教材少很多。基本上由代数专业的教师编写，因此内容比较单纯。供非数学专业使用的线性代数教材大部分是数学专业的线性代数教材的简化版，稍难一些的证明省略掉。Gilbert Strang作为应用数学界的巨头，怀着极大的热情多年从事大学低年级的基础课程教学，并写作这本优秀的极富特色的教材，是难能可贵的。但愿我国的高层次的应用数学或其它学科的学者多关心本科生教学，写出一些有特点的优秀教材。
4.1 代数与几何
由于线性代数是解析几何的自然推广，代数计算和几何意义同等重要，这是数学界的共识。因此任何一本教材都讲矩阵和向量空间，但侧重点有所不同。贯穿本书的一个原则是讲述每一个新的概念和方法时都解释清楚它们的几何意义。作者认为 n维向量空间中的向量是“看的见”的东西，他也试图用生动的解说向读者灌输这种理念，培养学生正确的几何直观。我国教材中也在这方面也作一定的努力，但还需要改进，因为只要光会计算而没有几何直观是不能理解线性代数的精髓的。
4.2 写作风格
Gilbert Strang 的叙事式的写作风格是很难模仿的，但它是值得借鉴的。
4.3 和其他数学的联系
由于美国中学和大学数学课程的设置和内容以及深度和我国有较大的差别，线性代数中应用部分内容的取舍也不一样。就Strang的教材来看，有些预备知识的起点很低，例如作者假定读者对复数一无所知，书中就从头讲起。而在微分方程方面需要读者有一定的预备知识，这可能因为麻省理工学院历来重视微分方程课程，该课程完全从高等数学课程中分离出来成为单独的一门本科生低年级必修课。我国多数线性代数教材强调内容的自封性，一般把与其它数学分支的联系降到最低限度。
5. 本书章节目录
第一章：矩阵和高斯消去法
引言、线性方程的几何学、高斯消去法的一个例子、矩阵的记号和乘法、三角化因子和行变换、矩阵的逆和转置、特殊矩阵及其应用
第二章：向量空间和线性方程
向量空间和子空间、n 个变量 m 个方程的解、线性无关，基和维数、四个基本的子空间、网络和关联矩阵、线性变换
第三章：正交性
相互垂直的向量和正交子空间、内积和到一条直线的投影、投影和最小二乘逼近、正交基，正交矩阵，Gram-Schmidt 正交化、快速富里叶变换
第四章：行列式
引言、行列式的性质、行列式的公式、行列式的应用
第五章：特征值和特征向量
引言、对角形矩阵、差分方程和方阵的幂、微分方程和指数方阵e^{At、复矩阵：对称阵-厄尔米阵，正交阵-酉阵、相似变换
第六章：正定矩阵
极大极小和鞍点、正定的判别法、半定和不定矩阵、极小值原理和Rayleigh 商、有限元方法
第七章：矩阵的计算
引言、矩阵的范和条件数、特征值的计算、解 Ax=b 的迭代法
第八章：线性规划和博弈论
线性不等式、单纯形法和Karmarkar 方法、对偶原理、网络模型、博弈论和极小极大原理
附录：
奇异值分解和伪逆阵、若当标准型、线性代数的计算机代码
【参考文献】
【1】 David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay, A. Duane Porter, The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 1 (1993), pp. 41-46.
6. 书评作者简介：
杨劲根，复旦大学数学研究所教授、博导，从事代数几何方面的研究。