Calculus，5th Edition
作者：James Stewart
出版商：Thomson Learning， Brooks/Cole；2003
书评人：杨劲根，复旦大学数学学院
1. 出版与作者情况
James Stewart 写作的理工类微积分教材
作者 James Stewart曾在斯坦福大学获硕士学位，在该大学就学期间深受数学教育大家乔治.波利亚的影响。他在多伦多大学获博士学位，后来曾在伦敦大学从事研究工作，他的数学研究领域是调和分析。现在任加拿大麦克马斯特大学数学教授。
James Stewart 一个人大约写了八本不同的微积分教材，应该是针对不同对象的，或者说分A,B,C,...类的。本书是这些教材中最畅销的一本，有些版本的书名还带有一个副标题 Early Transcendentals。
1. 美国的教学改革和微积分教材的历史简介
为了解本书的创作背景，得从美国的微积分教学的历史说起。
在近代的美国数学教学中有过两次重大的改革。第一次是五十年代末和六十年代初的“新数学运动”，此前法国的Bourbaki学派对数学发起强烈的冲击，把公理化数学推向顶峰，产生一系列以前不可想象的重大成果。而历来美国的数学教育落后于欧洲先进国家。部分有声望的美国数学家发起了新数学运动，把一些抽象数学概念灌输给中小学生。当时也产生一些写得很通俗的中小学教材，使学生很早就学集合和映射，培养他们数学的理性思维。然而结果却差强人意，简直可以用“大失败”来形容。这不能怪那些发起改革的数学家，更不能怪Bourbaki，只能说在美国当时不具有这样的条件。有人怀疑能教这些中小学新教材的中小学教师是否合格就是一个大问题。就像大革命失败后有一个反动的白色恐怖期一样，新数学运动后中小学的数学教学便变本加厉地复旧，使初等数学课本变的超级简单，甚至把平面几何的证明题从中学教材中全部砍掉。80 年代的统计显示每年30万修工科微积分课程的大学生中只有14万及格。美国的科技和教育界深刻认识到这个重大问题并痛下决心解决，于是在80年代末美国国家自然科学基金会出资一千一百万美元设立一个微积分改革的项目，这是美国近代的第二次数学教学改革。该项目是一个成员众多的集体项目，由哈佛大学牵头，除了一些大学数学教授外也吸收一批各应用领域（如物理、计算机科学、各类工程学、经济学、生物学、各类人文科学）的专家参与，参与此项目的最显赫的人士可数费尔兹奖得主David Mumford 。第一个引人注目的就是一套教材，俗称哈佛教材。和新数学运动相反，哈佛教材所教的仍是传统微积分的内容，只是在强调的重点上不同。它突出对微积分在概念方面上的自然理解以及在各学科中的应用，在相当大的程度上放弃数学的严格性。全国有很多大学投入这项改革，包括哈佛、杜克、密歇根等一些名校，据1999年代统计在美国有五百多所大学和大专投入微积分改革运动，每年修改革微积分的人数达30万，占修微积分课程学生总数的百分之三十二。那些院校除了使用哈佛教材外还新建专门的计算实验室。不少大学同时开改革的微积分和传统微积分两门课程供学生选修，经比较后调查的结果显示占一半的院校修改革微积分的学生比传统微积分好，另百分之四十说差不多，百分之十说不好。
在美国数学界对微积分改革和哈佛教材也有各种不同看法，甚至有人把它贬得一钱不值，特别一些理工类名校不屑使用这套教材。有个别原先参与改革的院校如加州大学洛杉矶分校后来退出了改革。
传统的微积分教材中Thomas的微积分可称传统微积分的典型，该教材多年使用于麻省理工学院，后来成为美国各大学（特别是一些名校）的首选教材，长年来处垄断地位。该教材内容丰富，也有深度，相当于我国A类高等数学教材。教材的版本也不断更新，新的习题和微积分的应用经常翻新。这本教材是与哈佛教材抗衡的微积分教材中的桥头堡。
随着大学各学科的扩大和发展，一本教材是不可能适应全部专业的需要的。无论改革型的还是传统型的教材都需要一些不同难度和不同侧重点的新教材。
我们这里所评的 James Stewart的微积分是近十年来使用率最高的教材之一，作者没有在改革上进行“包装”，基本上按微积分的原来面目来编写的，该算成传统类的教材。内容比Thomas的微积分浅，恐怕这也是这本书如此畅销的一个原因。总之这本教材是美国理工类微积分教材中当前有影响力的教材。
2. 本教材的特色
微积分课程已经是一个定型的课程，在基本内容上是没有多少创新的余地的。不同的教材的区别在于深浅度、内容编排、叙述方式、应用问题的选用、习题编排等一些方面的差异。
总体来讲，这是一本朴实无华的相当标准的教材，包含了理工科一年级大学生应该学习的所有内容，在很多关键章节的写法是很细致的。应用题很多，但以物理中的应用为主，多少算是还微积分的本来面目，很多章节后还有一些供学生培养独立研究能力的课题，如彩虹的原理，电影院里座位的视角分析等。在单变量微积分和多变量微积分之间插了几章关于空间解析几何，其数量比较恰当。
下面就本书的一些特点加以详细评述。
3.1 高使用率
根据不完全统计目前美国至少有三十余所正规大学使用这本教材，包括耶鲁大学、哥伦比亚大学、密西根大学、加州大学伯克利分校、德州大学奥斯汀分校等名校。传说在全球共有一百多所院校使用该教材，销量达几十万册。
3.2 高清晰的叙述
在美国的微积分教学讨论会上曾有一个共识，叫做四位一体法则( Rule of Four ),那就是在微积分教学中要有图像、数值、代数、语言这四个方面的有机结合。本书作者也是这个法则的推崇者。他认为首要的目标是使学生尽可能深地学懂微积分中的重要概念，其它都是手段。作者始终把这个理念贯彻在全书中。不能用数学家喜欢的方式来写微积分教材，需要用中学生都能看懂的语言由浅入深地讲述各种新的概念，在这方面作者化了很大功夫并获得巨大成功。读他的书的学生并不觉得特别难，但是该学的东西都能学到。然而书中描述性的话并没有太多，绝没有冗长的感觉，大部分的解说文字都很精练。可读性是本书广受欢迎的一个重要原因。
本书的英语非常规范，很少使用俗语俚语及偏僻的英文单词和词组，也许英语国家的学生觉得语言有些单调，但这非常有利于非英语国家的学生。
3.3 大量的图像
本书图像很多，主要目的是使学生更快更正确地理解概念和问题的本质。几乎每页都有图像，这对建立学生的几何直观非常有用。
3.4 习题层次分明
和传统微积分教材一样，习题还是以计算题为主。本书的习题分类比较细，有概念题（包括是非题），有基本的计算题，证明题数量较少，还有很多提高类的题，有使用计算机辅助的题，每章有复习题。每一部分的题的数量足够大，这使得使用本教材的教师针对授课学生的程度有较大的余地选择作业题。
很多章节配有大型练习题，这都是现实世界中的应用问题，要求学生经历分析问题、建立数学模型、利用微积分解决问题的全过程。在书中把这种练习称为“project”，即小型科研项目。这样的项目共有三十多个，其内容覆盖面相当广，例如：用导数计算飞行员在着陆前什么时刻决定下降、彩虹的原理、计算电影院中那个座位最好、恒星的辐射量计算等。
在“导数的应用”一章中有一个写作练习，题为“洛必达法则的起源”，作者为学生制定了文章的提纲和四篇参考文献的目录。这对大学生的早期论文写作训练无疑是有帮助的。类似的写作练习共有四五个，都与数学史有关。
3.5内容编排和取舍
传统的微积分一开始学数列的极限，本书一开始就讲函数的极限，而把数列极限和无穷级数安排在同一章中。这样的安排似乎也挺合理，可以使学生尽早地学导数和积分。
大部分定理有严格而易懂的证明，有些难的理论舍弃了，如函数的一致连续、无穷级数的一致收敛等内容被避开了。
在不定积分技术方面包含变量代换、分部积分、三角函数积分、有理函数积分等一些传统的内容，但这章不是本书的重点，习题难度不大。
微分方程一章比较简短，内容的选取还是比较先进的，作者更加突出方向场和定性理论，舍弃一些特殊的求解析解的方法。阻滞增长方程和捕食-被捕食反应扩散系统这两节的内容是当前比较流行的。
3.6 计算机和计算器的使用
本书作者鼓励学生使用计算机软件或带图像功能的计算器。每章都有相当数量的习题需要使用计算机软件或带图像功能的计算器，这些题都有明显的标志，作者声明这些题并非必须做的，忽略所有这些题不影响课程的学习。
这种带图像功能的计算器是德州仪器公司生产的高端计算器，有较大的屏幕用来显示函数的图像，价格不便宜。由于携带和使用都方便，可靠性强，很受美国大学生的欢迎。从长远来看它是没有发展空间的，必然会被带有强大计算软件的掌上计算机所取代。本书现在版本中的那些带图像功能的计算器辅助题在将来的版本中很可能会消失，就像计算尺和对数表已经在数学教材中彻底消失一样。
与它相反，使用计算机软件的习题有更大的发展前景，本书和其它教材一样，推荐使用的软件以Maple 和Mathematica 为主。
3. 和我国微积分教材的比较和启示
我国也有优秀的微积分教材。然而微积分毕竟是洋人发明的，进入中国比较晚，我们得承认目前我们在微积分教材方面还是落后于西方。从一点可以看出，我们的教材在写作中直接或间接地需要参考西方的教材，而西方人写微积分教材鲜有参考中国教材的。
尽管美国有各种类型的微积分教材，我国同样也有各种类型和风格的教材，但是中外教材的差异要大于美国教材之间的差异。与其比较Stewart教材和我国同类教材，还不如比较两国之间微积分教材的差异。
4.1 历史和教育体制
美国是科技超级大国，在数学上也是超级大国。美国的教育几乎是全民教育，公立和私立学校同样发达，质量上私立强于公立的。由于这样的机制，中小学的数理化教育普遍比较差，中学生进入大学时的数学基础是否合格是值得怀疑的。作为大学一年级的数学课程微积分当然需要迎合大部分美国大学生的需求，所以起点不能太高，习题的难度不能太大。
支撑我国教育的最大杠杆是高考，中国的孩子们（至少在城市中）从小就在激烈的竞争环境中学习，所以中学毕业后平均数学程度是高于美国的，特别经过高考筛选后，大学生的平均数学基础远好于美国的一年级新生。教这样的程度比较整齐的学生就容易多了，这应该值得美国的数学教师羡慕。相应的微积分教材就比较深一些，学生对微积分教材也不像美国学生那么挑剔。
由于历史的原因，我国数学受前苏联数学很大的影响，一大批老一代的数学工作者从学习苏联的数学教材入门的，费赫金哥尔茨的微积分教程、斯米尔诺夫的高等数学教程及吉米多维奇的高等数学习题集长期当成微积分的圣经膜拜。至今我国很多微积分教材中明显带有前苏联教材的烙印。这样的教材的一个特点是内容多，难度高，技巧性强，缺点是不够现代。
4.2 写作风格
包含相同内容的微积分教科书，美国的书的页数比中国的至少要多三分之一。这反映了我国教材的浓度大于美国的教材。
我国的教材普遍语言比较简练，已经讲过的内容不重复。美国教材注重四位一体，例如讲解导数时用四种不同的方式反复地讲解导数的意义，好的教材（如Stewart或哈佛教材）并不简单地重复，而是换了一个角度来讲，这就像交响乐中主题之后有变奏和再现一样。哈佛教材编写组强调应该加强用大白话（plain English)来解释微积分，因为它比枯燥的公式更能使人接受。因此美国的微积分教材的作者在文字上下的功夫普遍比我国的作者大很多，他们更加重视教材的自封性、可读性、通俗性以及前后符号和术语的一致性， 特别注重能让学生自学。
4.3 习题难度
前面已经提到，美国微积分教材习题难度普遍低于我国同类教材的难度，相应地他们的GRE 考试的数学部分比我国的考研数学题容易得多。
一个典型的内容是不定积分，这是一个习题窝，吉米多维奇的习题集中不定积分习题就占五百多道。我国高等数学教材的不定积分部分的习题数量远没有这么多，但还是占相当大的一个部分。到底不定积分的难度到那里比较合适也是微积分教学工作者中有争议的一个议题。
Stewart的书中把不定积分安排在隔开的两章中，前面部分是最最基本的不定积分技术，后面部分是其它的积分级数（包括有理函数积分、三角函数变换），这是一个折中的方案，可供教材的使用人灵活地选用。
笔者认为，随着符号计算软件的迅猛发展，人们对人工不定积分技术的需求越来越低。学生化过多时间专研不定积分的技术得不偿失，这不能有效提高人的数学修养。我国的学生努力作各种不定积分习题的目标其实是为了应付考试。从发展的趋势不定积分的内容应该逐步减少，习题的难度也应降低。
4.4 微分方程
简单的微分方程是高等数学中的一个重要部分，但篇幅又不大，我国的高等数学教材在这一章中大致上只讲解解析方法，重点是一阶和二阶线性微分方程的解法。这样的安排无可非议，教师容易讲，考试题也容易出。
Stewart书中微分方程方面的篇幅不比我们多多少，但是他非常重视数值法（如欧拉法）和图像法（方向场和相位图）。特别他安排专门两节，即阻滞增长方程和捕食-被捕食反应扩散系统，详细地讲解处理这样的问题的各种方法。在美国的本科生微分方程专门课程的教材中也可以见到这两方面的内容，可见其重要性。这两个问题本起源于人口学中的模型，事实上这两个模型在很多人文科学中有应用，包括经管类的学科。从数学的角度看，这两个模型并不复杂，大一学生完全可以学懂。这一点可以供我国微积分教材编写者借鉴。
4. 本书章节目录
第一章：函数和模型
函数的四种表达方式、数学模型，最基本的函数、从已知函数构造新的函数、使用有图形功能的计算器和计算机、指数函数、反函数和对数函数
第二章：极限和导数
切线和速度问题、函数的极限、用极限的法则求极限、极限的精确定义、连续性、在无穷远点的极限，水平渐近线、切线、速度和其它变化率、导数、导函数
第三章：微分的法则
多项式函数和指数函数求导、乘积和商的求导、自然科学和社会科学中的变化率、三角函数的导数、链导法、隐函数求导法、高阶导数、对数函数的导数、双曲函数、相对变化率、线性逼近和微分
第四章：微分的应用
最大和最小值、中值定理、导数是如何影响函数的图像的、不定型和洛必达法则、画曲线的方法概述、用微积分和计算器画函数的图像、极值问题、在管理学和经济学中的应用、牛顿法、反导数
第五章：积分
面积和长度、定积分、微积分基本定理、不定积分和净变化量定理、变量代换、用积分定义对数函数
第六章：积分的应用
曲线围成的区域的面积、体积、用圆柱截面求体积、功、函数的平均值
第七章：积分的技术
分部积分法、三角函数的积分、利用三角函数做变换、用部分分式对有理函数积分、积分的常用步骤、用积分表和计算机软件积分、近似积分、广义积分
第八章：积分的进一步的应用
弧长、旋转面面积、物理和工程中的应用、经济学和工程中的应用、概率
第九章：微分方程
用微分方程建模、方向场和欧拉法、可分离变量的微分方程、指数型增加和衰减、阻滞增长方程、线性微分方程、捕食-被捕食反应扩散系统
第十章：参数方程和极坐标
曲线的参数方程、参数曲线的微积分、极坐标、极坐标下求面积和弧长、圆锥曲线、圆锥曲线的极坐标方程
第十一章：无穷序列和级数
数列、无穷级数、积分判别法及和的估计、比较判别法、交错级数、绝对收敛，商判别法和方根判别法、收敛性判定的一般步骤、幂级数、泰勒级数和麦克劳林级数、二项级数、泰勒多项式的应用
第十二章：向量和空间的几何学
三维坐标系、矢量、点乘、叉乘、直线和平面方程、柱形和二次曲面、柱坐标和球坐标
第十三章：矢值函数
矢值函数和空间曲线、矢值函数的导数和积分、弧长和曲率、空间的运动：速度和加速度
第十四章：偏导数
多变量函数、极限和连续性、偏导数、切平面和线性逼近、链导法、方向导数和梯度、极大和极小值、拉格朗日乘子法
第十五章：多重积分
矩形上的二重积分、累次积分、一般区域上的二重积分、极坐标下的二重积分、二重积分的应用、曲面面积、三重积分、柱坐标和球坐标下的三重积分、多重积分中的变量代换
第十六章：矢量分析
向量场、线积分、线积分的基本定理、格林公式、旋度和散度、参数曲面和面积、面积分、斯托克斯公式、散度定理、总结
第十七章：二阶微分方程
二阶线性微分方程、非齐次线性方程、二阶线性微分方程的应用、级数解法
附录：
数、不等式和绝对值、坐标系和直线、二次方程的图像、平面三角、求和记号、定理的证明、复数、奇数号习题的答案
【参考文献】
【1】 J. Hurley, U. Koehn, S. Ganter, Effects of Calculus Reform: Local and National, American Mathematical Monthly, vol.106,no.9 (1999),pp.800-811
【2】 David Klein and Jerry Rosen, Calculus for the Millions,Notice of AMS, no.7 (1997), pp. 1324-1325.
【3】 David Mumford, Calculus for the Millions, Notice of AMS,no.5 (1997).