CALCULUS WITH ANALYTIC GEOMETRY，2ND EDITION
作者:：George F. Simmons
出版者：The McGRAW-HILL，1996年
书评人：陆立强,复旦大学数学科学学院
本书作者Simmons于1942年获得加州理工学院学士学位，1957年获耶鲁大学博士学位，从事泛函分析研究，先后在Williams 学院、罗德岛大学、耶鲁大学、Maine大学、芝加哥大学和科罗拉多学院任教。在长期的教学科研活动中，他始终坚持数学教学要以学生为本，摒弃公式化、程式化。他还是Introduction to Topology and Modern Analysis (1963)、Differential Equations with Application and Historical Notes (1972, 1991 (2nd ed.)) 、Precalculus：Mathematics in a Nutshell (1981)和Calculus Gems (1992)等多部教材的作者，这些教材以语言通俗、案例丰富、重视概念而受到读者的欢迎。
1. 主要内容
本书共21章，涵盖各种层次大学一学年微积分课程所必须的内容。其中第一部分（1-7章），从高中解析几何、直角坐标系、初等函数定义出发，重点阐述了极限、导数、连续、积分等概念，其中专列两章讲述导数和积分的应用。第二部分（8-14章）的前半段，在介绍指数函数、对数函数、三角函数后，详细介绍了换元积分法、分部积分法、部分分式法、三角代换法和数值积分法，以及它们在解决实际问题中的应用。最后三章分别讲述了不定型极限和广义积分、数项级数、幂级数等内容。第三部分（15-21章）则属于多元微积分（以二元为主）。从圆锥曲线的产生出发，介绍了极坐标、平面向量、空间坐标和向量、向量的内积和外积、柱面、曲面等连接几何和微积分的重要概念，在此基础上用三章内容介绍了偏导数、多重积分和曲线曲面积分等基本内容和方法。
2. 特色介绍
2.1 强调微积分的工具性。
无论是作为数学专业的基础课程，还是其他专业的工具性课程，《微积分》的作用是为未来从事的研究和应用打下基础，这种基础固然需要通过各种微积分的计算方法和技巧来体现，但也许是我们的教学给学生留下“只要记住这些技巧和方法就能获得高分”的印象，当在需要应用微分和积分的基本概念和方法为实际问题建立数学模型的时候，我们往往会感觉自己在大学所学的微积分几乎没有用。
本书非常强调微积分的工具性，主要体现在以下两个方面：
l 突出讲述微积分概念的来龙去脉
和一般教材不同，本书在第一部分花费相当长篇幅，通过实际问题引入微分、积分的概念，在讲述基本方法以后，通过专门的章节，用更多的实例深入介绍微积分的实际应用，培养学生应用微积分解决实际问题的能力，在第一时间增加了学生和微积分的亲近感。在第二部分，积分方法的应用、正态分布计算、布丰投针问题、莱布尼兹如何计算四分之一圆面积、无限循环小数化成有理数等实际背景问题的引入，无疑会大大减轻学生对广义积分、级数收敛等概念的恐惧，而萌发对微积分知识博大精深知识的探求之心
l 引入了计算工具的使用
微积分知识体系的诞生和成熟远在计算机发明以前，没有计算工具的帮助，微积分的教学过程依然可以在一种严格的逻辑系统中完成，因此，数学界对计算工具在基础课程中的引入还存在不同的看法。但不可否认的是，计算机发明的原始动力来自和微积分一脉相承的微分方程的求解，可以说计算工具帮助人类应用数学知识实现了上天入地、呼风唤雨的梦想。
本书作者以一种十分慎重的态度尝试引入计算工具。主要集中在函数图像、极限计算、一元方程求根、数值积分和泰勒公式计算等五个方面。
2.2 强调概念和方法，淡化证明过程
数学素质的重要性是毋庸置疑的，但对于绝大多数本科学生而言，这种重要性体现在数学工具给专业学习带来的方便，而非源自牛顿-莱布尼兹时代的复杂的证明。因此，本书主要篇幅在于叙述概念和方法，这种叙述不是传统的基于数学符号的阐述，而是综合了大白话式的叙述、图像、注释、提示等多种手段，值得一提的是，作者在每章结束时将本章涉及的定义、概念和方法加以突出，再辅以7000道作业（和比第一版增加15%，其中相当部分是给学生的复习题），为教师检验学生的学习进度带来了方便，更有利于学生掌握难点问题。
2.3 保持数学基础知识的完整和严密
本书作者深知：作为已有数百年历史的成熟的课程，《微积分》的基本内容必须得到保证，教学内容的改革不能以放弃必须的知识为代价，这在本书第二版中体现尤为明显。
本书的正文舍弃了对定理的严格证明，这不失为本书的一大特色，但是作为一本面向各种层次学生的教材，仍有对于常见基本定理证明的需求。作者巧妙地将包含实数系基本性质、极限收敛性质、中值定理、一致收敛性、隐函数存在定理等21种基本性质和定理以附录的形式包含在内，既不破坏教材的整体格调，又保持了内容的完整和严密。
本书第二版，增加了Gauss定理、Stokes定理等内容，保证了多元微积分知识体系的完整性。
采用分散、提前引入的方式补充了微分方程、向量分析等后继课程会详细介绍、在本课程又必须的知识，突出了微积分课程的特点，也避免了过多占用课时。
2.4 努力提高数学教材的趣味性
考虑到教材主要面向普通美国高中毕业生，他们的初等数学基础一般比较弱，更没有微积分基础，所以三个部分以初等数学的内容作为开始，包括实数系、寒暑、坐标平面、直线和圆的方程、三角函数、对数函数、指数函数、二次曲线等，以帮助同学比较平稳地完成从初等数学到高等数学的过渡。
教材以“历史典故”的形式穿插介绍了毕达哥拉斯、笛卡儿、费尔马、黎曼、欧拉、高斯、拉普拉斯、傅立叶、牛顿、雷布尼兹等历史上著名数学家的生平和主要成就，这对于提高学生的数学修养是大有益处的。
3. 目录
第一部分
第一章 数、函数和图形
引言；直线和坐标平面、毕达哥拉斯；斜率和直线方程；圆和抛物线、笛卡尔和费尔马；函数的概念；函数图像；三角绪论。
第二章 函数的导数
何谓微积分？、切线问题；如何算切线的斜率；导数的定义；速度和变化率、牛顿和雷布尼兹；极限的概念、两个三角函数的极限；连续函数、中值定理及其他。
第三章 导数的计算
多项式导数；乘法和除法规则；复合函数和链式法则；三角函数的导数；隐函数和分数指数函数；高阶导数。
第四章 导数的应用
单调函数、最大值和最小值；凸性和驻点；最大值和最小值问题的应用；反射和折射；相对速度；牛顿法解方程；（选读）经济学中的边际分析
第五章 不定积分和微分方程
引言；微分和切线逼近法；不定积分、换元法；微分方程、分离变量法；重力运动、逃逸速度和黑洞
第六章 定积分
引言；面积问题；基本求和公式；曲边图形面积、定积分和黎曼；利用极限求面积；微积分基本定理；定积分性质。
第七章 积分应用
引言：积分的直观意义；两条曲线间的面积；切片法求体积；圆柱壳体求体积；弧长公式；旋转曲面的面积；功和能；流体静力；附录：阿基米德和球体体积。
第二部分
第八章 指数函数和对数函数
引言；指数运算和对数运算；e和函数；自然对数函数y=lnx、欧拉；应用：人口增长和无限电波衰减。
第九章 三角函数
回顾；正弦函数和余弦函数的导数；正弦函数和余弦函数的积分、投针问题；其他三角函数的导数；反三角函数；简谐运动；（选读）双曲线方程。
第十章 积分方法
引言、基本公式；换元法；常见三角函数积分；三角函数换元法；配方法；部分分式法；分部积分法；其他方法；数值积分、Simpson公式；附录1：悬链线；附录2：Wallis乘积；附录3：雷布尼兹如何发现公式
第十一章 积分的进一步应用
离散系统的质心；连续体的质心；Pappus定理；惯性矩。
第十二章 不定式和反常积分
引言：中值定理回顾；0/0型不定式、L’Hospital法则；其他不定式；反常积分；正态分布、高斯。
第十三章 常数项级数
什么是级数？收敛数列；收敛级数和发散级数；收敛级数的一般性质；非负项级数、比较判别法；积分判别法、欧拉常数；比值判别法、根式判别法；交错数列判别法；绝对收敛。附录1：欧拉和公式；附录2：
是无理数；附录3：质数倒数组成的级数：
第十四章 幂级数
引言；收敛区间；幂级数的导数和积分；Taylor级数和Taylor公式；Taylor在近似计算中的应用；在微分方程中的应用；（选读）幂级数的运算；（选读）复数和欧拉公式；附录：Bernoulli数和欧拉的惊人发现。
第三部分
第十五章 圆锥切线
引言；再探圆和抛物线；椭圆；双曲线；焦点、准线和偏心率的定义；（选读）二次方程、坐标旋转；
第十六章 极坐标
极坐标系统；极坐标方程对应的曲线；圆、圆锥曲线和螺旋线的极坐标方程；弧长和曲线；极坐标系的面积计算。
第十七章 参数方程、平面向量
曲线参数方程；摆线及其类似曲线；向量代数、单位向量i和j；向量函数的导数、速度和加速度；曲率和单位法向量；加速度的切向和法向分量；开普勒定律和牛顿定律；附录：最速降线问题的Bernoulli解。
第十八章 三维空间向量、曲面
三维空间中的坐标和向量；向量内（点）积；向量外（叉）积；直线和平面；柱面和旋转曲面；二次曲面；柱面坐标和球面坐标。
第十九章 偏导数
多元函数；偏导数；曲面的切平面；增量和微分、基本引理；方向导数和梯度；偏导数的链式法则；最大值和最小值问题；带约束的最大值和最小值、Lagrange 乘子；（选读）拉普拉斯方程、热传导方程以及波动方程、拉普拉斯和傅立叶；
（选读）隐函数。
第二十章 多重积分
累次积分求体积；两重积分和累次积分；两重积分的物理应用；极坐标中的两重积分；三重积分；柱面坐标积分；球面坐标、万有引力；曲面面积、Legendre公式；附录：用两重积分推导欧拉公式：
第二十一章 线积分和曲面积分、格林定理、高斯定理和司托克斯定理
平面上的线积分；路径依赖、守恒区域；格林定理；曲面积分、高斯定理；司托克斯定理；麦克斯韦方程
附录：微积分理论
实数系；极限定理；连续函数较深入的性质；中值定理；连续函数的可积性；微积分基本定理的另一种证明；长度不存在的连续函数；；不可积函数；反代换求积分的合理性；部分分式定理的证明；广义比值判别法；绝对收敛和条件收敛；Direchlet判别法；幂级数一致收敛；幂级数除法；混合偏导数；积分号下的导数；基本引理的证明；隐函数定理的证明；多元积分中的换元、Jacobi行列式。
【参考文献】
[1] S. L. Ganter, Changing Calculus, Mathematical Association of American Notes #56, Washington DC (2001)
4. 书评作者简介：
陆立强：复旦大学数学学院副教授，中国工业与应用数学学会理事、上海市工业与应用数学学会秘书长，从事工业应用数学的研究。