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主 编 杨劲根
副主编 楼红卫 李振钱 郝群
编写人员（按汉语拼音为序）
陈超群 陈猛 东瑜昕 高威 郝群 刘东弟 吕志 童裕孙 王巨平 王泽军 徐晓津 杨劲根 应坚刚 张锦豪 张永前 周子翔 朱胜林
1. 序言
2. 非数学专业的数学教材
3.数学分析和泛函分析
4.单复变函数
5.多复变函数
6.代数
7.数论
8.代数几何
9.拓扑与微分几何
10.偏微分方程
11.概率论
12.计算数学
13.其他
14.附录
1.1 数学与数学教材
数学是科学的一个重要工具，这已经是老生常谈的一个常识了。从中小学、大学直到研究生，数学课程始终占据显著的位置。数学学科是庞大的，包含的分支很多，而且随着时间的推移，人类对数学的认识越来越深刻，数学的内容也越来越丰富，新的数学分支也时常产生。然而，尽管数学学科在不断的发展，它的基本原理是相对稳定的。如果把现在的大学数学和 50年前的大学数学作比较，就会发现基础性的内容是差不多的，那时的很多优秀数学书籍现在仍然奉为经典。这是数学和一些新兴学科的一个显著区别。
数学大致分作两类：基础数学和应用数学。基础数学也叫做纯数学或理论数学，它是根据数学本身的需要而发展的。应用数学是在纯数学的基础上产生的各种具有不同程度的应用性的各种学科，这是数学和其他学科如物理、化学、计算机科学、经济学等的桥梁。
大学数学课程按学生的专业可以分成两大类：数学专业的和非数学专业的。按程度又分本科生课程和研究生课程两大类。数学专业本科生有低年级的基础课程和高年级的专业课程选修课程。低年级的基础课程主要包括数学分析、线性代数、复分析、微分方程、抽象代数、复变函数、实变函数、泛函分析等。非数学专业的本科生数学基础课程通常称‘高等数学’，内容以微积分、线性代数和微分方程为主，只是比数学专业学生学习的内容要浅些。非数学专业的学生在数学课程中接受的训练主要是计算和应用的能力，而数学专业的学生主要接受数学推理的能力训练。
学习数学的最主要的途径是看书。数学书籍大凡可以分教科书、学术专著和通俗读物三种。差不多所有数学分支都有一些不同深度的教科书。
1.2 如何选择合适的教材
对于在读的大学生或研究生，不需要化太多心思选择教材，只要用老师指定的教材就可以了。特别是如果在所修的课程中你感觉学到比较扎实，习题基本会做，那也不一定去看太多其他同类的教材。对于学生来说，参考书是双刃剑，一方面它可以开拓视野，加深对所学知识认识的深度，另一方面，由于不同的作者写书的构思不同，内容安排的次序也可能不同，甚至所用的术语也有区别，同时看几本同类的书会造成混乱。所以建议在下面两种情形下去寻找合适的参考书：1）觉得课堂上用的教材太难，大部分习题不会做，这时可找一本浅一点的或者对基本概念解释得更仔细一点的书。2）能轻松对付课堂内容，又对该课程有浓厚兴趣，这时可请老师推荐更深一些的教材。
前面我们提到过数学教材分数学专业和非数学专业教材两大类。它们的差异是巨大的，例如同样书名是 Linear Algebra的教材，工科的学生觉得数学系的教材的叙述太简洁，例子太少，图形少，计算题少，证明太多，习题太难。而数学系的学生觉得工科线性代数教材不严格，解释性的话太多，应用性的例子太简单。所以非数学专业的读者选择数学专业的数学教材要格外慎重，首先要判断其内容和深度是否是你确实需要或你感兴趣的，然后再估量一下你的数学基础够不够，千万不可勉强。
对于自学数学的同志，选择合适的教材是十分关键的，千万不要随便抓起一本书就念。选错书是会走很多弯路的。对于初学者，光看书名、目录和序言是很难准确地判断这本书是不是适合于你，需要仔细看看里面的内容。可以到书店去浏览，有些书店有很多品种的数学书，但是有很多最好的书籍在书架上是没有的，因此图书馆是一个更好的选择。也可以在互联网上搜索，当然身边有高手指点就再好不过了。
1.3 外国数学教材
中国国内有不少好的数学教材，为什么还需要外国的教材呢？从中学数学教材到大学低年级的教材来看，光用国内的教材已经够了，但是越到高的层次，对国外教材的倚靠就越明显了。不仅要使用翻译的教材，还要使用原版的。从语种来看，英语最为重要。世界上的数学大国是美国、俄罗斯、德国、法国、英国，这五个国家堪称数学超级大国。意大利、日本、印度和东欧诸国的数学也很强。中国虽然出些数学人才，但是和数学五大强国比差距仍不小，我们得摆正位置，老老实实学习人家先进的东西。日本和印度的数学家历来用英文写作。前苏联的数学教科书在 60年代对我国起很大影响，当时会俄文对学数学很有利。几十年前，非英语国家的数学教科书都用本国文字写。在当今的信息时代，英语几乎成了世界语，在数学中也不例外，连法国德国的数学家也经常用英文写作，在加上美国的数学界化了相当大的人力物力翻译数学名著。对于数学工作者来说，只懂英语一种外语也够了。
国外有几家著名的出版商如德国的 Springer Verlag, 美国的 Academic Press, 美国数学会(AMS) 和一些名校如英国的牛津、剑桥，美国的 Princeton大学的出版社都是数学教材大户。非数学专业用的数学书的出版商不象基础数学那样集中，多数由一些综合性的出版社如 John Wiley, Prentice Hall, McGraw-Hill 等出版。
数学类书籍的领头羊当数 Springer Verlag，它有很多系列丛书，主要给数学专业使用，最有名的几种是
1）GTM, 即 Graduate Texts in Mathematics, 至今以出版了 200 多种，覆盖面很广，但多数是基础数学方面研究生教材。
2） UTM, 即 Undergraduate Texts in Mathematics, 该系列比上面系列出现得晚一些，也没有列序号，因此品种也略少一些，似乎只有几十中，大部分是本科生数学教材。
3） Universitext, 这是 Springer Verlag 另一套无序列号的数学丛书，以数学系高年级的教材为主，里面不乏好书。
4） LNM, 即 Lecture Notes in Mathematics, 这是规模最大的丛书，以专著和研究生课程的讲义为主，现已有几千种。
Springer 还有几个系列非常专门，这里就不介绍了。 Springer 的数学书差不多都是醒目的黄色封皮，印刷和装订都很考究。书的数学质量也很高，很受读者欢迎。但是大部分书都适合于有较好数学训练的人阅读，建议我国数学系研究生和高年级本科生使用。
供大学生阅读的数学课外读物历来比较少。美国数学会在几年前推出的简装的系列丛书 Student Mathematical Library 倒是针对大学生的。 大部分书不到 200 页，选材比较有趣，非常有特色。美国数学会仿效 Springer Verlag, 也出版一套黄封面的研究生数学丛书，里面不乏好书。此外，美国数学会有一个翻译书系列，以俄罗斯和日本的数学译著为主，多数是研究性的专著，但也有一些高质量的教材。另一套值得推荐的系列丛书是伦敦数学会的 Student texts, 对象以数学专业高年级大学生和研究生为主，每本的篇幅为 200 页上下，内容覆盖的范围很广，基础数学方面的更多一些。
美国数学协会（Mathematical Association of America）的刊物 American Mathematical Monthly 是大学生（甚至低年级的大学生）可以看懂的数学刊物，和我国的“数学通报”相仿，但它的知名度和文章质量远高于“数学通报”，里面大量的文章可以作为大学数学系学生的课外读物。它每期都有一些竞赛性质的趣题。
下面谈谈供非数学专业使用的外国数学教材，其中最重要的是 Calculus. 美国的微积分教材品种很多，根据对象不同深浅也不一样，正象我国的高等数学课程分理工类、医学类、经济类等等一样。美国的微积分 教材篇幅很大，一本书一般都在 600 页上下，而且是大开本的。由于这是出版量最大的数学教材，印刷非常考究，校对也仔细，所以错误极少。我国的高等数学教材大部分比较简洁，其优点是信息量大，缺点是不利于自学。美国的微积分教材一般浓度不大，非常注意由浅入深，描述和解释性的话比较多，特别注意讲解实例，习题也很丰富，一般的读者只要没有英语方面的问题读起来是很快的。其他大学低年级的公共数学课程的教程也有这样的特点。这些教材之所以篇幅越来越大有商业上的原因，它们有更多的选学章节和附录供使用者选择，这样的书销路会好一些。它带来的负面作用是容易使自学者抓不住重点，所以我国读者使用这些教材需要注意，先在序言中看清作者写书的构思和意图，有的作者还给出导读表。有重点地阅读能更有效地掌握该课程的精髓。
1.4 外国数学教材的来源
自改革开放以来，我国在引进外国教材方面作出了巨大的努力。教委和科学院每年都花费大量外汇购买各种原版科技书籍。然而这些原版书价格非常昂贵，一般的读者很难承受，多数由图书馆采购，按我国现在的条件，一般大专院校的原版书的数量是非常有限的。
近十几年来，我国的一些出版单位如世界图书出版公司、高等教育出版社、机械工业出版社等购买了国外一些大的出版公司的部分书刊的版权后在中国影印出版，其价格只及原版书的五分之一到十分之一，种类也越来越多，这是喜欢外国教材的读者的一个重要书源。
随着信息时代的到来，电子书籍成了一个最诱人的书源。虽然数学电子书不象文科书籍那样容易在互联网上找到，但是它们的数量也是以惊人的速度增加。例如 Springer 在网上提供了它的全部电子出版物的收费网上资源，供集团订购。我国若干高校的图书馆（如清华、复旦）已经订购，那些学校的师生可以在所在校园自由下载。象它的系列丛书 GTM, UTM 自 1997年来的教材几乎全部可以下载。
近年来出现的网上维基百科全书（Wikipedia）已成为炙手可热的工具。从它的数学内容来看，覆盖面相当广，搜索非常容易，在 Google 主页上键入一个学术名词一般第一条就是 Wikipedia 的条目，可见其点击率之高。虽然作者是匿名的，但从绝大部分条目来看可以发现这些作者相当专业，准确性非常高，文章短小精悍，引用的参考资料对读者非常有用，不由得对这些作者的敬业精神表示敬意。
在外国数学书籍的学习过程中，难免会碰到一些在你所读到书中没有解释或没有解释清楚的术语，这时最好的办法就是去请教 Wikipedia。当然， Wikipedia 只是工具，绝不能替代教科书。
1.5 美国的大学数学教学
美国的大学数学课程的内容和世界上其它国家没有太大的区别。由于学生基础差异比较大在课程的设置和学时安排方面有它的特点。由于美国在科技方面仍是超级强国，对于它的大学数学教学作一定的了解是有好处的。
1.5.1 微积分(calculus)
毫无疑问，最重要的数学课程是微积分，这相当于我国的高等数学。大部分微积分课程都包含了空间解析几何甚至简单的线性代数和微分方程。多数学校（包括一些一流的名校）的数学系学生在大一修和理科其他专业同样的微积分课程，而在后续课程中再学数学分析，这一点和我国有很大的区别。看上去有重复，实际上花的学时差不多，学起来也轻松一点，这也符合循序渐进的原则，值得我们借鉴。对于非数学专业，其后续课程按需要而设置，例如理工类的很可能开“advanced calculus”课程，内容包括数理方程、Fourier分析等，生物医学类的专业可能学概率统计。
在近代的美国数学教学中有过两次重大的改革。第一次是 50年代末和六十年代初的“新数学运动”，此前法国的 Bourbaki学派对数学发起强烈的冲击，把公理化数学推向顶峰，产生一系列以前不可想象的重大成果。而历来美国的数学教育落后于欧洲先进国家。部分有声望的美国数学家发起了新数学运动，把一些抽象数学概念灌输给中小学生。当时也产生一些写得很通俗的中小学教材，使学生很早就学集合和映射，培养他们数学的理性思维。然而结果却差强人意，简直可以用“大失败”来形容。这不能怪那些发起改革的数学家，更不能怪 Bourbaki，只能说在美国当时不具有这样的条件。有人怀疑能教这些中小学新教材的中小学教师是否合格就是一个大问题。就像大革命失败后有一个反动的白色恐怖期一样，新数学运动后中小学的数学教学便变本加厉地复旧，使初等数学课本变的超级简单，甚至把平面几何的证明题从中学教材中全部砍掉。美国入大学比中国容易的多，只要肯付学费好赖能进个大学，这些中学生进入大学后大多数人见数学要头疼的。
80 年代的统计显示每年 30万修工科微积分课程的大学生中只有 14 万及格。美国的科技和教育界深刻认识到这个重大问题并痛下决心解决，于是在 80 年代末美国国家自然科学基金会出资一千一百万美元设立一个微积分改革的项目，这是美国近代的第二次数学教学改革。该项目是一个成员众多的集体项目，由哈佛大学牵头，除了一些大学数学教授外也吸收一批各应用领域（如物理、计算机科学、各类工程学、经济学、生物学、各类人文科学）的专家参与，参与此项目的最显赫的人士可数费尔兹奖得主 David Mumford 。第一个引人注目的就是一套教材，俗称哈佛教材，即我们书评中微积分的第一本教材。和新数学运动相反，哈佛教材所教的仍是传统微积分的内容，只是在强调的重点上不同。它突出对微积分在概念方面上的自然理解以及在各学科中的应用，在相当大的程度上放弃数学的严格性。全国有很多大学投入这项改革，包括哈佛、杜克、密歇根等一些名校，据 1999 年代统计在美国有五百多所大学和大专投入微积分改革运动，每年修改革微积分的人数达 30万，占修微积分课程学生总数的百分之三十二。那些院校除了使用哈佛教材外还新建专门的计算实验室。不少大学同时开改革的微积分和传统微积分两门课程供学生选修，经比较后调查的结果显示占一半的院校修改革微积分的学生比传统微积分好，另百分之四十说差不多，百分之十说不好。
在美国数学界对微积分改革和哈佛教材也有各种不同看法，甚至有人把它贬得一钱不值，特别一些理工类名校不屑使用这套教材。有个别原先参与改革的院校如加州大学洛杉矶分校后来退出了改革。
1.5.2 线性代数(linear algebra)
近五十年来，线性代数也成了大学低年级的热门课程。和微积分一样，美国的线性代数也分两步走，先学线性代数第一教程，再学它的后续课程。第一教程是面向各专业的学生的，很多大学数学系的学生也学第一教程。
1990 年十多个美国大学教授在美国国家自然科学基金会资助下开了五天会专门讨论线性代数第一教程的改革，会后向数学教育界提出五条建议（见five）。我们选一些要点概述如下：作为公共基础课程的线性代数的大纲应优先考虑授课对象的需求。需要学线性代数的学科主要有：计算机科学、电子工程、航天工程、系统工程、物理学、经济学、统计学、运筹学等。同时也得考虑少数修此课的数学专业学生的需求。由于相当数量的一部分学生不再修它的后续课程，本课程必须有一定的完整性。线性代数的应用的讲解是必要的，但要简明，使个不能专业的学生都能听懂。课程的深度按学生的数学基础来定。建议此课程以矩阵为主，而不是以抽象的线性空间和线性变换为主，这有利于培养学生的线性代数计算和应用能力，这和培养数学系的学生并无冲突。课程的核心内容如下：
1）（3 个教学日） 矩阵的加法和乘法，转置，各种运算的性质，分块矩阵的运算法则。特别要详细讲解矩阵乘法 $AB$ 的如下解释：
i) $Ax$ 是 $A$ 的列的一个线性组合， $AB$ 中每一列是 $A$ 的列的线性组合。如果 $D$ 是对角阵，则 $AD$ 中的每一列是原来列的放大或缩小。如果 $P$ 是一个置换矩阵，则 $AP$ 的列是 $A$ 的列的一个置换。
ii) $AB$ 的每一行是 $B$ 的行的线性组合，...
2）（4 个教学日）线性方程组，包括高斯消去法、初等矩阵、阶梯形矩阵、解答存在性和唯一性、逆矩阵、 LU-分解。
3）（2-3 个教学日）行列式，余子式，按行或列展开， $|AB|=|A||B|,$ Cramer 法则 。从二阶和三阶引入行列式的计算和性质，尽量避免 冗长的证明。
4）（7-8 个教学日） $n$ 维实空间 ${/mathbb R}^n.$ 线性组合、线性相关、线性无关、基、子空间、生成元、子空间的基、矩阵的行空间、列空间、零空间、矩阵所定义的线性变换、矩阵的秩=行秩=列秩、重新解释线性方程组、秩+零空间维数=列数、内积、向量的长度、正交性、标准正交基、正交阵。不必证明所有定理。
5）（6 个教学日）特征值、特征向量、特征子空间、方阵的对角化、对称阵和它的正交对角化、二次型。
6）（4 个教学日）正交投影、Gram-Schmidt 正交化，QR-分解，最小二乘法。
总共 26-28 个教学日，余下时间可以讲授选学内容。这里的教学日只有 50 分钟的课堂时间，比我国的课时少。
参加讨论会的代表强烈推荐数学系必须设立相应的后续课程，例如抽象线性代数、矩阵分析、数值线性代数，使数学系学生有一个学年的线性代数训练。
美国大学的公共线性代数课程大致上都按上面的精神设计的，这也可以在他们使用的教材中反映出来。对此有所了解有助于我们对外国教材的选用。
目前我国大学的数学教学数学专业和非数学专业的界线过于明显。笔者认为数学分析和线性代数这两门数学系的主课可以借鉴美国的方式，每一门都分两个阶段，第一阶段学一个学期的公共课程，第二阶段学有严格证明的后续课程，不失为一种合理的安排。
1.6 本书的目标
2007年复旦大学数学学院和校图书馆外国教材中心组织一批力量对国外大学的的数学教材进行调查研究。选择一部分优秀的教材向国内同行和学生进行介绍，旨在帮助国内大专院校师生和自学数学的同志选择合适的外国教材，对于最常用的一些教材，我们对它们在国外的使用情况作了统计和调查。所有的书都由熟悉该书内容的教师书写介绍，其中有不少书在教学中使用过，对于书的特色和难易程度都有较明确的评论。我们相信我们的选书标准是高的，所以数量相对来说不大，所覆盖的范围也并不是太广。对于我们选中的书籍，大部分都作了简评，结合中国高校的情况
列出一些使用要点。为了使读者更加全面地了解所选的教材，我们还选载了一些国外读者的比较中肯的评论，不光是讲优点的评论，也有很多讲书中的不足之处的，评论者多数是使用过该书的教师和学生。
在互联网上可以查到不少热心数学人士的网页上的一些读书指导，提供一些数学好书的清单，大部分都比较简略，由于是个人行为，收集的面也有一定限制。我们尝试组织一批精通业务的专家合作也提供一些对国内师生更有用的调查资料，起个抛砖引玉的作用。由于时间和人力物力的关系，这一次选的书的数量和范围有限，我们希望这只是这个工作的一个开头，以后根据条件是可以大大扩充本书的内容的。
本书分两个部分，第一部分是非数学专业（即公共基础课）的数学教材，第二部分是数学系的教材，它们又按不同的数学分支进行编排。本科生和研究生教材就不分了，因为它们间也没有非常明确的界线。对于大部分书除了一些基本资料外都有以下几项参考指标：
适用范围，预备知识，习题数量，习题难度，推荐强度（最高是 10）。
希望这些指标对读者选书提供帮助。
参考文献：
David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay, A. Duane Porter, The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 1 (1993), pp. 41-46.
J. Hurley, U. Koehn, S. Ganter, Effects of Calculus Reform: Local and National, American Mathematical Monthly, vol.106, no.9 (1999),pp.800-811
Kerry Johnson, Harvard Calculus at Oklahoma State University, American Mathematical Monthly, Vol.102, no.9 (1995), pp. 794-798.
David Klein and Jerry Rosen, Calculus for the /$millions, Notice of AMS, no.7 (1997), pp. 1324-1325.
David Mumford, Calculus for the millions, Notice of AMS, no.5 (1997).